Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11 Cùng khám phá

I. Phương trình tương đương

1. Khái niệm phương trình tương đương

- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0$

2. Các phép biến đổi tương đương

-  Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

- Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

II. Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m$

Phương trình sinx = m có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 \le m \le 1$.

Khi $- 1 \le m \le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha  \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ thoả mãn $\sin \alpha  = m$. Khi đó:

${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\sin x = \sin {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = {180^o} - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l}\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}$

2. Phương trình ${\rm{cosx}} = m$

Phương trình ${\rm{cosx}} = m$ có nghiệm khi và chỉ khi$- 1 \le m \le 1$.

Khi $- 1 \le m \le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha  \in \left[ {0;\pi } \right]$ thoả mãn ${\rm{cos}}\alpha  = m$. Khi đó:

${\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\cos x = \cos {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x =  - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l}{\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}$

3. Phương trình $\tan x = m$

Phương trình $\tan x = m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m \in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha  \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ thoả mãn $\tan \alpha  = m$. Khi đó:

$\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\tan x = \tan {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.$

4. Phương trình $\cot x = m$

Phương trình $\cot x = m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m \in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha  \in \left( {0;\pi } \right)$ thoả mãn $\cot \alpha  = m$. Khi đó:

$\cot {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\cot x = \cot {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.$

III. Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$3 (CASIO FX 570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$4 (CASIO FX 570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc $\alpha$ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím  “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $\alpha$