Lý thuyết nhân đơn thức với đa thức

1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng số hạng của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Tổng quát:

Cho \(A, B, C, D\) là các đơn thức, ta có: \(A(B + C - D) = AB + AC - AD.\)

Ví dụ:  

\(\begin{array}{l}
x\left( {{x^2} + 1} \right)\\
= x.{x^2} + x.1\\
= {x^{1 + 2}} + x\\
= {x^3} + x
\end{array}\)

2. Các phép tính về lũy thừa

\({a^n} = a.a...a\,\,\,\left( {a \in\mathbb Q,n \in \mathbb N^*} \right)\) ( n thừa số a)

\({a^o} = 1\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

\({a^n}.{a^m} = {a^{n{\text{ }} + {\text{ }}m}}\)

\({a^n}:{a^m} = {a^{n - m}}\,\,\left( {n \geqslant m} \right)\)

\({({a^m})^n} = {a^{m.n}}\)

3. Các dạng toán cơ bản 

Dạng 1: Thực hiện phép tính (hoặc rút gọn biểu thức)

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

Ví dụ: 

\(\eqalign{& \,\,{x^2}\left( {x + y} \right) + 2x\left( {{x^2} + y} \right) \cr &  = {x^2}.x + {x^2}.y + 2x.{x^2} + 2x.y \cr & = {x^3} + {x^2}y + 2{x^3} + 2xy \cr & = 3{x^3} + {x^2}y + 2xy } \)

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp:

Giá trị của biểu thức \(f\left( x \right)\) tại \({x_0}\) là \(f\left( {{x_0}} \right)\)

Ví dụ: 

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức: \(A = 5x\left( {x - 4y} \right) - 4y\left( {y - 5x} \right)\) với \(x =  - {1 \over 5};y =  - {1 \over 2}\)

Ta có: 

\(\eqalign{ & \,\,\,A = 5x\left( {x - 4y} \right) - 4y\left( {y - 5x} \right) \cr & \Leftrightarrow A = 5x.x - 5x.4y - 4y.y - 4y\left( { - 5x} \right) \cr & \Leftrightarrow A = 5{x^2} - 20xy - 4{y^2} + 20xy \cr & \Leftrightarrow A = 5{x^2} - 4{y^2} \cr} \)

Tại \(x =  - {1 \over 5}\) và \(y =  - {1 \over 2}\) ta có:

\(A = 5.{\left( { - {1 \over 5}} \right)^2} - 4{\left( { - {1 \over 2}} \right)^2} \\= 5.{1 \over {25}} - 4.{1 \over 4} = {1 \over 5} - 1 =  - {4 \over 5}\) 

Dạng 3: Tìm \({\bf{x}}\)

Phương pháp:

Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức để biến đổi đưa về dạng tìm \(x\) cơ bản.

Ví dụ: 

Tìm x biết:

\(6x\left( {5x + 3} \right) + 3x\left( {1 - 10x} \right) = 7\)

Ta có:

\(\eqalign{ & \,6x\left( {5x + 3} \right) + 3x\left( {1 - 10x} \right) = 7 \cr & \Leftrightarrow 6x.5x + 6x.3 + 3x.1 - 3x.10x = 7 \cr & \Leftrightarrow 30{x^2} + 18x + 3x - 30{x^2} = 7 \cr & \Leftrightarrow 21x = 7 \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over 3} \cr} \)