Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai - SGK Toán 10 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Dấu của tam thức bậc hai

a) Khái niệm tam thức bậc hai

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\).

b) Dấu của tam thức bậc hai

Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) với dấu của hệ số a trong từng trường hợp của \(\Delta \) được phát biểu trong định lí về dấu của tam thức bậc hai sau đây:

Chú ý: Trong định lí về dấu của tam thức bậc hai, có thể thay \(\Delta \) bởi \(\Delta '\).

2. Bất phương trình bậc hai

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c > 0\) (hoặc \(a{x^2} + bx + c \ge 0\), \(a{x^2} + bx + c < 0\), \(a{x^2} + bx + c \le 0\)) ta cần xét dấu tam thức \(a{x^2} + bx + c\), từ đó suy ra tập nghiệm.

B. Bài tập

Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

A. \(3x + 2\sqrt x  + 1\)

B. \( - 5{x^4} + 3{x^2} + 4\)

C. \( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\)

D. \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 2\frac{1}{x} + 3\)

Giải:

\( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\) là tam thức bậc hai với \(a =  - \frac{2}{3},b = 7,c =  - 4\).

Bài 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau đây:

a) \({x^2} + x + 1\).

b) \( - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\).

c) \(2{x^2} + 6x - 8\).

Giải:

a) \(f(x) = {x^2} + x + 1\) có \(\Delta  =  - 3 < 0\) và \(a = 1 > 0\) nên f(x) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

b)

\(f(x) =  - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\) có \(\Delta  = 0\) và \(a =  - \frac{3}{2} < 0\) nên f(x) có nghiệm kép x = 3 và f(x) < 0 với mọi \(x \ne 3\).

c) Dễ thấy \(f(x) = 2{x^2} + 6x - 8\) có \(\Delta ' = 25 > 0\), a = 2 > 0 và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 4\), \({x_2} = 1\). Do đó ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) > 0 với mọi \(x \in ( - \infty ; - 4) \cup (1; + \infty )\) và f(x) < 0 với mọi \(x \in ( - 4;1)\).

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

a) \(3{x^2} + x + 5 \le 0\).

b) \( - 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 1 \ge 0\).

c) \( - {x^2} + 2x + 1 > 0\).

Giải:

a) Tam thức \(f(x) = 3{x^2} + x + 5\) có \(\Delta  =  - 59 < 0\), hệ số a = 3 > 0 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \(3{x^2} + x + 5 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình vô nghiệm.

b) Tam thức \(f(x) =  - 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 1\) có \(\Delta ' = 0\), hệ số a = -3 < 0 nên f(x) có nghiệm kép \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) và f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi \(x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}\), tức là \( - 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 1 < 0\) với mọi \(x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

c) Tam thức \(f(x) =  - {x^2} + 2x + 1\) có \(\Delta ' = 2 > 0\) nên f(x) có hai nghiệm \({x_1} = 1 - \sqrt 2 \) và \({x_2} = 1 + \sqrt 2 \).

Mặt khác, a = -1 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\).