Giải bài 6.17 trang 24 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x \in \mathbb{R}$:

${x^2} + (m + 1)x + 2m + 3$

Lời giải chi tiết

Để tam thức bậc hai ${x^2} + (m + 1)x + 2m + 3 > 0$với mọi $x \in \mathbb{R}$

Ta có: a = 1 >0 nên $\Delta  < 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 4.(2m + 3) < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 8m - 12 < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 11 < 0\end{array}$

Tam thức $f(m) = {m^2} - 6m - 11$ có $\Delta ' = 20 > 0$ nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt ${m_1} =  3+\sqrt{20}; {m_2} = 3-\sqrt{20}$

Khi đó 

$3-2\sqrt{5} < m < 3+2\sqrt{5}$

Vậy $3-2\sqrt{5} < m < 3+2\sqrt{5}$