Giải mục 3 trang 36, 37 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 5

Cho hàm số \(f(x) = {x^2}\). Tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm \({x_0}\) bất kì.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghia đạo hàm để tính đạo hàm

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{(x - {x_0}).(x + {x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} (x + {x_0}) = 2{x_0}\)

Luyện tập 4

Chứng minh đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) trên khoảng \((0; + \infty )\) là \(y' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

Lời giải chi tiết:

Với mọi \({x_0} \in (0; + \infty )\) ta có :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} }}{{(\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} ).(\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\)

Suy ra \(y'({x_0}) = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\)

Vậy đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) trên khoảng \((0; + \infty )\) là \({y'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)