Giải mục 2 trang 61, 62 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Cho điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a;b)$và cho điểm $M(x;y)$ tùy ý trong mặt phẳng Oxy. Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến với $(C)$ tại ${M_0}$.

a) Viết biểu thức tọa độ của hai vt $\overrightarrow {{M_0}M}$ và $\overrightarrow {{M_0}I}$.

b) Viết biểu thức tọa độ  của tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow {{M_0}M}$ và $\overrightarrow {{M_0}I}$.

c) Phương trình $\overrightarrow {{M_0}M} .\overrightarrow {{M_0}I}  = 0$ là phương trình của đường thẳng nào?

Phương pháp giải:

a) Với $A(a;b),B(x;y)$ thì tọa độ của vt $\overrightarrow {AB}  = (x - a;y - b)$.

b) Với $\overrightarrow a  = \left( {a,b} \right),\overrightarrow b  = (x;y)$ thì $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = ax + by$.

c) Từ tích vô hướng đưa ra kết luận là $\overrightarrow {{M_0}M}  = \left( {x - {x_0};y - {y_0}} \right)$, $\overrightarrow {{M_0}I}  = \left( {a - {x_0};b - {y_0}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Biểu thức tọa độ của hai vecto $\overrightarrow {{M_0}M}$ và $\overrightarrow {{M_0}I}$ là $\overrightarrow {{M_0}M}  = \left( {x - {x_0};y - {y_0}} \right)$, $\overrightarrow {{M_0}I}  = \left( {a - {x_0};b - {y_0}} \right)$.

b) Ta có:

$\overrightarrow {{M_0}M} .\overrightarrow {{M_0}I}  = \left( {x - {x_0}} \right)\left( {a - {x_0}} \right) + \left( {b - {y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right)$.

c) $\overrightarrow {{M_0}M} .\overrightarrow {{M_0}I}  = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M}  \bot \overrightarrow {{M_0}I}$

${M_0}I$ là đoạn thẳng nối tâm với điểm thuộc đường tròn, suy ra đường thẳng $M{M_0}$ là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm ${M_0}$, hay chính là $\Delta$.

Thực hành 3

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$ tại điểm $A(4;6)$.

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm $I(a;b)$ tại điểm $M({x_0};{y_0})$nằm trên đường tròn là: $\left( {a - {x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {b - {y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có ${4^2} + {6^2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0$, nên điểm A thuộc (C).

Đường tròn $(C):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$ có tâm $I(1;2)$.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $A(4;6)$ là:

$\left( {1 - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {2 - 6} \right)\left( {y - 6} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 3x + 4y - 36 = 0$.

Vận dụng 3

Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn $(C)$ có phương trình:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{169}}{{144}}$.

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm $M\left( {\frac{{17}}{{12}};2} \right)$ thì buông đĩa (hình 4). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm M.

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đường trong tâm $I(a;b)$ tại điểm $M({x_0};{y_0})$ nằm trên đường tròn là: $\left( {a - {x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {b - {y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có ${\left( {\frac{{17}}{{12}} - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 1} \right)^2} = \frac{{169}}{{144}}$, nên điểm M  thuộc (C).

Đường tròn ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{169}}{{144}}$ có tâm $I(1;1)$.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $M\left( {\frac{{17}}{{12}};2} \right)$ là:

$\left( {1 - \frac{{17}}{{12}}} \right)\left( {x - \frac{{17}}{{12}}} \right) + \left( {1 - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow  - \frac{5}{{12}}x - y + \frac{{373}}{{144}} = 0$

$\Leftrightarrow 5x + 12y - \frac{{373}}{{12}} = 0$.