Giải bài 3 trang 62 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a) $M(2;5),N(1;2),P(5;4)$

b) $A(0;6),B(7;7),C(8;0)$

Lời giải chi tiết

a) Gọi A,B lần lượt là trung điểm của MN, MP ta có: $A\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right),B\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)$

Đường trung trực $\Delta$của đoạn  thẳng MN  là đường thẳng đi qua  $A\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)$ và nhận vt $\overrightarrow {MN}  = ( - 1; - 3)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $- x - 3y + 12 = 0$

Đường trung trực d của đoạn thẳng MP  là đường thẳng đi qua  $B\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)$ và nhận vt $\overrightarrow {MP}  = (3; - 1)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $3x - y - 6 = 0$

$\Delta$ cắt d tại điểm $I(3;3)$ cách đều ba điểm M, N, P suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm $I(3;3)$ và có bán kính $R = IM = \sqrt 5$. Vậy (C) có phương trình: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5$

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: $M\left( {\frac{7}{2};\frac{{13}}{2}} \right),N\left( {4;3} \right)$

Đường trung trực $\Delta$của đoạn  thẳng AB là đường thẳng đi qua  $M\left( {\frac{7}{2};\frac{{13}}{2}} \right)$ và nhận vt $\overrightarrow {BA}  = ( - 7; - 1)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $- 7x - y + 31 = 0$

Đường trung trực d của đoạn thẳng AC  là đường thẳng đi qua  $N\left( {4;3} \right)$ và nhận vt $\overrightarrow {AC}  = (8; - 6)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $8x - 6y - 14 = 0$

$\Delta$ cắt d tại điểm $I(4;3)$ cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm $I(4;3)$ và có bán kính $R = IA = 5$. Vậy (C) có phương trình: ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25$