Giải mục 2 trang 59,60 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

KP2

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\).

a) Biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) theo ba vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \)

b) Tính các tích vô hướng \({\overrightarrow i ^2},{\overrightarrow j ^2},{\overrightarrow k ^2}\), \(\overrightarrow i .\overrightarrow j \), \(\overrightarrow j .\overrightarrow k \), \(\overrightarrow k .\overrightarrow i \)

c) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) theo toạ độ của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3}) = {a_1}(1;0;0) + {a_2}(0;0;1) + {a_3}(0;0;1) = {a_1}\overrightarrow i  + {a_2}\overrightarrow j  + {a_3}\overrightarrow k \)

\(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3}) = {b_1}(1;0;0) + {b_2}(0;0;1) + {b_3}(0;0;1) = {b_1}\overrightarrow i  + {b_2}\overrightarrow j  + {b_3}\overrightarrow k \)

b) \({\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1\)

\({\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j  = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1\)

\({\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k  = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1\)

\(\overrightarrow i .\overrightarrow j  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0\)

\(\overrightarrow j .\overrightarrow k  = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0\)

\(\overrightarrow i .\overrightarrow k  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0\)

c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = ({a_1}\overrightarrow i  + {a_2}\overrightarrow j  + {a_3}\overrightarrow k ) . ({b_1}\overrightarrow i  + {b_2}\overrightarrow j  + {b_3}\overrightarrow k )\)

\( = {a_1}{b_1}{\overrightarrow i ^2} + {a_1}{b_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j  + {a_1}{b_3}\overrightarrow i .\overrightarrow k  + {a_2}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow j  + {a_2}{b_2}{\overrightarrow j ^2} + {a_2}{b_3}\overrightarrow j .\overrightarrow k  + {a_3}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow k  + {a_3}{b_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k  + {a_3}{b_3}{\overrightarrow k ^2}\)

\( = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\).

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho ba vectơ \(\overrightarrow m  = ( - 5;4;9)\), \(\overrightarrow n  = (2; - 7;0)\), \(\overrightarrow p  = (6;3; - 4)\).

a) Tính \(\overrightarrow m .\overrightarrow n \), \(\overrightarrow m .\overrightarrow p \)

b) Tính \(|\overrightarrow m |\), \(|\overrightarrow n |\), \(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n )\)

c) Cho \(\overrightarrow q  = (1; - 2;0)\). Vectơ \(\overrightarrow q \) có vuông góc với \(\overrightarrow p \) không?

Phương pháp giải:

a) Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

b) Công thức tính độ lớn vecto: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \)

c) \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow m .\overrightarrow n  =  - 5.2 + 4.( - 7) =  - 38\)

\(\overrightarrow m .\overrightarrow p  = ( - 5).6 + 4.3 + 9.( - 4) =  - 54\)

b) \(|\overrightarrow m | = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {4^2} + {9^2}}  = \sqrt {122} \)

\(|\overrightarrow n | = \sqrt {{2^2} + {{( - 7)}^2}}  = \sqrt {53} \)

\(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n ) = \frac{{\overrightarrow m .\overrightarrow n }}{{|\overrightarrow m |.|\overrightarrow n |}} = \frac{{ - 38}}{{\sqrt {122} .\sqrt {53} }} =  - \frac{{19\sqrt {6466} }}{{3233}}\)

c) \(\overrightarrow q .\overrightarrow p  = 1.6 + 3.(-2) - 4.0 = 0\) nên \(\overrightarrow q \) vuông góc với \(\overrightarrow p \).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực \(\overrightarrow f  = (5;4; - 2)\) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \(\overrightarrow a  = (70;20; - 40)\) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính công \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \)

Lời giải chi tiết:

Công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \) là: \(A = \overrightarrow f .\overrightarrow a  = 5.70 + 4.20 - 2.( - 40) = 510J\)