Giải mục 2 trang 108, 109 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 108 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Các đường thẳng $c,d$ lần lượt tiếp xúc với đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại $A,B$ và cắt nhau tại $M$ (Hình 38).

a) Các tam giác $MOA$ và $MOB$ có bằng nhau hay không?

b) Hai đoạn thẳng $MA$ và $MB$ có bằng nhau hay không?

c) Tia $MO$ có phải là tia phân giác của góc $AMB$ hay không?

d) Tia $OM$ có phải là tia phân giác của góc $AOB$ hay không?

Phương pháp giải:

Dựa vào tam giác bằng nhau để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

a) Do $MA$ là tiếp tuyến của $\left( {O;R} \right)$ nên $MA \bot AO$ suy ra $\widehat {MAO} = 90^\circ$.

Do $MB$ là tiếp tuyến của $\left( {O;R} \right)$ nên $MB \bot BO$ suy ra $\widehat {MBO} = 90^\circ$.

Xét tam giác $MOA$và tam giác $MOB$ có:

$\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ$

$OA = OB = R$

$OM$ chung

$\Rightarrow \Delta MOA = \Delta MOB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Do $\Delta MOA = \Delta MOB$ nên $MA = MB$ (2 cạnh tương ứng).

c) Do $\Delta MOA = \Delta MOB$ nên $\widehat {AMO} = \widehat {BMO}$ (2 góc tương ứng) suy ra $MO$ là tia phân giác của góc $AMB$.

d) Do $\Delta MOA = \Delta MOB$ nên $\widehat {MOA} = \widehat {MOB}$ (2 góc tương ứng) suy ra $OM$ là tia phân giác của góc $AOB$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 109 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng $c,d$ qua $M$ lần lượt tiếp xúc với $\left( O \right)$ tại $A,B$ biết $\widehat {AMB} = 120^\circ$. Chứng minh $AB = R$.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và tỉ số lượng giác để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Cách 1.

Vì $MA,MB$ là các tiếp tuyến của $\left( O \right)$ nên MO là tia phân giác của góc AMB, suy ra $\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{{\widehat {AMB}}}{2} = 60^\circ$.

Xét tam giác $AMO$ vuông tại $A$ có:

$\widehat {AMO} + \widehat {MOA} = 90 \\60^\circ  + \widehat {MOA} = 90^\circ \\ \widehat {MOA} = 30^\circ$

Vì $MA,MB$ là các tiếp tuyến của $\left( O \right)$ nên OM là tia phân giác của góc AOB, suy ra $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.30^\circ  = 60^\circ$.

Xét tam giác $AOB$ có: $OA = OB = R$ nên tam giác $AOB$ cân tại $O$.

Lại có $\widehat {AOB} = 60^\circ$ suy ra tam giác $AOB$ là tam giác đều.

Vậy $AO = OB = AB = R$.

Cách 2. 

Vì MA, MB là tiếp tuyến của $(O)$ nên $MA \bot OA$, $MB \bot OB$ suy ra $\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ$

Xét tứ giác OAMB có:

$\widehat {AMB} + \widehat {MAO} + \widehat {MBO} + \widehat {AOB} = 360^\circ$

Suy ra $\hat O = 360^\circ  - 120^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  = {60^\circ }$

Xét $\Delta OAB$ có $OA = OB = R$ suy ra $\Delta OAB$ cân tại $O$

Lại có $\hat O = 60^\circ$ (cmt)

Suy ra $\Delta OAB$ đều

Do đó $OA = OB = AB = R$ (đpcm)