Giải mục 1 trang 50,51 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$  tương ứng có các vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {u'}  = \left( {a';b';c'} \right)$. (H.5.34).

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc $\left( {\Delta ,\Delta '} \right)$ và $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)$.

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa $\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right)$ và $\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|$?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức giá của vectơ để chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow {u'}$ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$. Do đó, giá của $\overrightarrow u$ song song với $\Delta$, giá của $\overrightarrow {u'}$ song song với $\Delta '$. Do đó:

+) $\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)$  nếu $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) \le {90^o}$

+) $\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = {180^o} - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)$  nếu $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) > {90^o}$

b) Ta có: $\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$  tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {u'}  = \left( {a';b';c'} \right)$. Khi đó: $\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {aa' + bb' + cc'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$.

Lời giải chi tiết:

Trục Oz có vectơ chỉ phương $\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)$, đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {1;2; - 2} \right)$. Do đó, $\cos \left( {Oz,\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {0.1 + 0.2 - 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}$

Suy ra: $\left( {Oz,\Delta } \right) \approx 48,{2^o}$.