Giải mục 1 trang 39, 40 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

HĐ 1

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta xét Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, trong đó $a > b > 0$ (Hình 2)

a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm ${F_1},{F_2}$ của $\left( E \right)$

b) $\left( E \right)$ cắt trục $Ox$ tịa các điểm ${A_1},{A_2}$ và cắt trục $Oy$ tịa các điểm ${B_1},{B_2}$. Tìm độ dài các đoạn thẳng $O{A_2},O{B_2}$

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $(0 < b < a)$

+ 4 đỉnh là ${A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).$

Lời giải chi tiết:

Elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $(0 < b < a)$ có 4 đỉnh ${A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).$

$\Rightarrow O{A_2} = a;O{B_2} = b$

HĐ 2

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta xét Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, trong đó $a > b > 0$

Cho điểm $M\left( {x;y} \right)$ nẳm trên $\left( E \right)$ (Hình 3)

a) Gọi ${M_1}$ là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Tìm tọa độ của điểm ${M_1}$. Điểm ${M_1}$ có nằm trên $\left( E \right)$ hay không? Tại sao?

b) Gọi ${M_2}$ là điểm đối xứng của M qua trục Oy. Tìm tọa độ của điểm ${M_2}$. Điểm ${M_2}$ có nằm trên $\left( E \right)$ hay không? Tại sao?

c) Gọi ${M_3}$ là điểm đối xứng của M qua gốc O. Tìm tọa độ của điểm ${M_3}$. Điểm ${M_3}$ có nằm trên $\left( E \right)$ hay không? Tại sao?

Lời giải chi tiết:

a) Điểm ${M_1}$ là điểm đối xứng của M qua trục Ox, nên ${M_1}\left( {x; - y} \right)$

${M_1}\left( {x; - y} \right)$ thuộc Elip vì $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - y)}^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

b) Điểm ${M_2}$ là điểm đối xứng của M qua trục Oy, nên ${M_2}\left( { - x;y} \right)$

${M_2}\left( { - x;y} \right)$ thuộc Elip vì $\frac{{{{( - x)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

c) Điểm ${M_3}$ là điểm đối xứng của M qua gốc O, nên ${M_3}\left( { - x; - y} \right)$

${M_3}\left( { - x; - y} \right)$ thuộc Elip vì $\frac{{{{( - x)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - y)}^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$