Giải mục 1 trang 106, 107 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

HĐ1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 106 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu của tâm $O$ trên đường thẳng $a$ (Hình 33).

a) So sánh khoảng cách $OH$ từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ và bán kính $R$.

b) Điểm $H$ có thuộc đường tròn $\left( {O;R} \right)$ hay không?

c) Điểm $H$ có phải là tiếp điểm của đường thẳng $a$ và đường tròn $\left( {O;R} \right)$ hay không?

d) Đường thẳng $a$ có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm hay không?

Phương pháp giải:

Dựa vào hình ảnh trực quan để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) $OH = R$.

b) Điểm $H$ có thuộc đường tròn $\left( {O;R} \right)$.

c) Điểm $H$ là tiếp điểm của đường thẳng $a$ và đường tròn $\left( {O;R} \right)$.

d) Đường thẳng $a$ có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 107 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng, trong đó $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Đường tròn $\left( O \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $AB$ tại điểm $C$. Chứng minh: $A{O^2} + B{C^2} = B{O^2} + A{C^2}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức vừa học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Vì đường thẳng $AB$ tiếp xúc với đường tròn $\left( O \right)$ tại $C$ nên $OC \bot AB$. Suy ra tam giác $OBC$ vuông tại $C$, tam giác $OAC$ vuông tại C.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $OAC$ vuông tại $C$, ta có:

$O{A^2} = O{C^2} + A{C^2} \Rightarrow O{C^2} = O{A^2} - A{C^2}\,\,\left( 1 \right)$.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $OBC$ vuông tại $C$, ta có:

$O{B^2} = O{C^2} + B{C^2} \Rightarrow O{C^2} = O{B^2} - B{C^2}\,\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) suy ra $O{A^2} - A{C^2} = O{B^2} - B{C^2} \Rightarrow O{A^2} + B{C^2} = O{B^2} + A{C^2}$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 107 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $\left( {O;R} \right)$ thỏa mãn đường thẳng $a$ đi qua điểm $H$ thuộc đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $a \bot OH$.

a) So sánh khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $a$ và bán kính $R$.

b) Giả sử $N$ là điểm thuộc đường thẳng $a$ và $N$ khác $H$. So sánh $ON$ và $R$. Điểm $N$ có thuộc đường tròn $\left( {O;R} \right)$ hay không?

c) Đường thẳng $a$ có phải là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ hay không?

Phương pháp giải:

Dựa vào hình ảnh trực quan và các kiến thức đã học để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $a$ là đoạn $OH$.

Do điểm $H$ thuộc đường tròn $\left( {O;R} \right)$ nên $OH = R$.

Vậy khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $a$ bằng bán kính $R$.

b) Xét tam giác $OHN$ vuông tại $H$ có: $ON$ là cạnh huyền, $OH$ là cạnh góc vuông.

Suy ra $ON > OH$, lại có $OH = R$. Vậy $ON > R$.

Điểm $N$ không thuộc đường tròn $\left( {O;R} \right)$.

c) Đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 107 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';R'} \right)$ tiếp xúc ngoài nhau tại điểm $I$. Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left( {O;R} \right)$ tại điểm $I$. Chứng minh $d$ là tiếp tuyến của $\left( {O';R'} \right)$.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức vừa học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Vì (O;R) và (O';R') tiếp xúc ngoài nhau tại I nên O, I, O' thẳng hàng và I nằm giữa O và O'.

Do $d$ là tiếp tuyến của $\left( {O;R} \right)$ tại điểm $I$ nên $OI \bot d$ hay  $O'I \bot d$.

Mà $I \in \left( {O'} \right),I \in d$ nên $d$ là tiếp tuyến của $\left( {O';R'} \right)$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 108 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho hai đường tròn $\left( O \right),\left( {O'} \right)$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$ sao cho đường thẳng $OA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O'} \right)$. Chứng minh đường thẳng $O'B$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Phương pháp giải:

Dựa vào các kiến thức vừa học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Do $OA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O'} \right)$ nên $O'A \bot OA$. Vậy $\widehat {OAO'} = 90^\circ$.

Xét tam giác $OAO'$ và tam giác $OBO'$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}O'A = O'B\\OO'\,\,chung\\OA = OB\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta OAO' = \Delta OBO'\left( {c.c.c} \right)\\ \Rightarrow \widehat {OAO'} = \widehat {OBO'}\end{array}$.

Mà $\widehat {OAO'} = 90^\circ$ nên $\widehat {OBO'} = 90^\circ$ hay $OB \bot O'B$.

Vậy đường thẳng $O'B$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.