Giải bài tập 7 trang 81 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho góc nhọn $\alpha$. Biết rằng, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ sao cho $\widehat B = \alpha$.

a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$ theo $AB,BC,CA$.

b) Chứng minh: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$; $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$; $\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$; $\tan \alpha .\cot \alpha  = 1$.

Từ đó, tính giá trị biểu thức: $S = {\sin ^2}35^\circ  + {\cos ^2}35^\circ$; $T = \tan 61^\circ .\cot 61^\circ$.

Lời giải chi tiết

a) $\sin \alpha  = \frac{{AC}}{{BC}}$; $\cos \alpha  = \frac{{AB}}{{BC}}$; $\tan \alpha  = \frac{{AC}}{{AB}}$; $\cot \alpha  = \frac{{AB}}{{AC}}$.

b) Ta có:

${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1$.

$\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BC}}.\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \tan \alpha$.

$\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{AB}}{{BC}}:\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BC}}.\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \cot \alpha$.

$\tan \alpha .\cot \alpha  = \frac{{AC}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{AC}} = 1$.

$S = {\sin ^2}35^\circ  + {\cos ^2}35^\circ  = 1$.

$T = \tan 61^\circ .\cot 61^\circ  = 1$.