Giải bài tập 7 trang 78 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao AM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H (Hình 30). Chứng minh:

a) $\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ .$

b) $\widehat {AHC} = \widehat {ADC.}$

c) $\widehat {ADC} = \widehat {BAM} + 90^\circ .$

Lời giải chi tiết

a) Do tam giác ABC có hai đường cao AM, CN nên $\widehat {HMB} = 90^\circ ,\widehat {BNH} = 90^\circ$

Xét tứ giác HMBN có:

$\begin{array}{l}\widehat {NHM} + \widehat {HMB} + \widehat {MBN} + \widehat {BNH} = 360^\circ \\\widehat {NHM} + \widehat {MBN} = 360^\circ  - \widehat {HMB} - \widehat {BNH}\\\widehat {NHM} + \widehat {MBN} = 360^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  = 180^\circ .\end{array}$

Hay $\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ .$

b) Vì ABCD nội tiếp đường tròn nên  $\widehat {CDA} + \widehat {ABC} = 180^\circ .$

mà $\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ$ (câu a)

suy ra $\widehat {CDA} = \widehat {MHN}$, hơn nữa $\widehat {CHA} = \widehat {MHN}$ (đối đỉnh)

vậy $\widehat {CHA} = \widehat {CDA.}$

c) Xét tam giác AMB vuông tại M có: $\widehat {BAM} + \widehat {AMB} = \widehat {BAM} + 90^\circ  = 180^\circ  - \widehat {MBA.}$

Mà $180^\circ  - \widehat {MBA} = \widehat {ADC}$ (do ABCD nội tiếp)

Vậy $\widehat {ADC} = \widehat {BAM} + 90^\circ .$