Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Tính độ dài đường gấp khúc $ABCDEGH$, biết các tam giác $OAB,OBC,OCD,ODE,OEG,OGH$ là các tam giác vuông tại các đỉnh lần lượt là $B,C,D,E,G,H$; các góc ${O_1},{O_2},{O_3},{O_4},{O_5},{O_6}$ đều bằng $30^\circ$ và $OA = 2cm$ (Hình 25).

Lời giải chi tiết

Xét tam giác $ABO$ vuông tại $B$, ta có:

+) $AB = AO.\sin 30^\circ  = 2.\sin 30^\circ  = 1\left( {cm} \right)$.

+) $BO = AO.\cos 30^\circ  = 2.\cos 30^\circ  = \sqrt 3 \left( {cm} \right)$.

Xét tam giác $BOC$ vuông tại $C$, ta có:

+) $BC = BO.\sin 30^\circ  = \sqrt 3 .\sin 30^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {cm} \right)$.

+) $CO = BO.\cos 30^\circ  = \sqrt 3 .\cos 30^\circ  = \frac{3}{2}\left( {cm} \right)$.

Xét tam giác $COD$ vuông tại $D$, ta có:

+) $CD = CO.\sin 30^\circ  = \frac{3}{2}.\sin 30^\circ  = \frac{3}{4}\left( {cm} \right)$.

+) $DO = CO.\cos 30^\circ  = \frac{3}{2}.\cos 30^\circ  = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\left( {cm} \right)$.

Xét tam giác $DOE$ vuông tại $E$, ta có:

+) $DE = DO.\sin 30^\circ  = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{8}\left( {cm} \right)$.

+) $EO = DO.\cos 30^\circ  = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{9}{8}\left( {cm} \right)$.

Xét tam giác $EOG$ vuông tại $G$, ta có:

+) $EG = EO.\sin 30^\circ  = \frac{9}{8}.\frac{1}{2} = \frac{9}{{16}}\left( {cm} \right)$.

+) $GO = EO.\cos 30^\circ  = \frac{9}{8}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{16}}\left( {cm} \right)$.

Xét tam giác $GOH$ vuông tại $H$, ta có:

$GH = GO.\sin 30^\circ  = \frac{{9\sqrt 3 }}{{16}}.\frac{1}{2} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{32}}\left( {cm} \right)$.

Vậy độ dài đường gấp khúc $ABCDEGH$ là:

$ABCDEGH = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{3}{4} + \frac{{3\sqrt 3 }}{8} + \frac{9}{{16}} + \frac{{9\sqrt 3 }}{{32}} = \frac{{37\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{32}} \approx 4,3 \left( {cm} \right)$.