Giải bài tập 5.14 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 8}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}$.

a) Chứng minh rằng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 1;3} \right)$ và đi qua điểm ${A_1}\left( {1;3;2} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;2} \right)$ và đi qua điểm ${A_2}\left( {8; - 2;2} \right)$.

Vì $\frac{1}{8} \ne \frac{3}{{ - 2}}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\1&2\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5; - 7;1} \right) \ne \overrightarrow 0$, $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \left( {7; - 5;0} \right)$

Vì $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 7.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 7} \right) + 0.1 = 0$, $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5; - 7;1} \right) \ne \overrightarrow 0$ nên ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.

b) Vì mặt phẳng (P) chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$, ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau nên mặt phẳng (P) nhận $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5; - 7;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến. Lại có, điểm ${A_1}\left( {1;3;2} \right)$ thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là: $- 5\left( {x - 1} \right) - 7\left( {y - 3} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 5x - 7y + z + 24 = 0$.