Giải bài 8 trang 14 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chứng minh rằng, với mọi số nguyên n

a) $(2n + 1)^2 − (2n − 1)^2$ chia hết cho 8;

b) $(8n + 4)^2 − (2n + 1)^2$ chia hết cho 15.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

${\left( {2n + 1} \right)^2} - {\left( {2n - 1} \right)^2}$

$= \left( {2n + 1 + 2n - 1} \right)\left( {2n + 1 - 2n + 1} \right)$

$= 4n.2 = 8n \vdots 8$ với mọi số nguyên n.

b) Ta có:

${\left( {8n + 4} \right)^2} - {\left( {2n + 1} \right)^2}$

$= \left( {8n + 4 + 2n + 1} \right)\left( {8n + 4 - 2n - 1} \right)$

$= \left( {10n + 5} \right)\left( {6n + 3} \right)$

$= 15{\left( {2n + 1} \right)^2} \vdots 15$ với mọi số nguyên n