Giải bài 7 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Giả sử tỉ lệ người dân tham gia giao thông ở Hà Nội có hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ là 80%. Chọn ngẫu nhiên (có hoàn lại) 20 người đang tham gia giao thông trên đường. Hãy tính xác suất của các tình huống sau:

a) Có 15 người hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ.

b) Có 8 người không hiểu biểu cơ bản về Luật giao thông đường bộ.

c) Số người không hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ có xác suất lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(X\) là số người hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ. Khi đó \(X\) là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số \(n = 20;\) \(p = 80\%  = 0,8.\)

Ta có \(P(X = 15) = C_{20}^{15}.{(0,8)^{15}}.{(1 - 0,8)^{20 - 15}} \approx 0,1746.\)

Vậy xác suất có 15 người trong 20 người hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ là 0,1746.

b) Gọi \(Y\) là số người không hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ. Khi đó \(Y\) là biến ngẫu nhiên rời rạc có  phân phối nhị thức với tham số \(n = 20;\) \(p = 1 - 0,8 = 0,2.\)

\(P(Y = 8) = C_{20}^8.{(0,2)^8}.{(1 - 0,2)^{20 - 8}} \approx 0,0222.\)

Vậy xác suất có 8 người không hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ là 0,0222.

c) \(P(Y = 0) = C_{20}^0.{(0,2)^0}.{(1 - 0,2)^{20 - 0}} \approx 0,0115.\)

\(P(Y = 1) = C_{20}^1.{(0,2)^1}.{(1 - 0,2)^{20 - 1}} \approx 0,0576.\)

\(P(Y = 2) = C_{20}^2.{(0,2)^2}.{(1 - 0,2)^{20 - 2}} \approx 0,1369.\)

\(P(Y = 3) = C_{20}^3.{(0,2)^3}.{(1 - 0,2)^{20 - 3}} \approx 0,2054.\)

\(P(Y = 4) = C_{20}^4.{(0,2)^4}.{(1 - 0,2)^{20 - 4}} \approx 0,2182.\)

\(P(Y = 5) = C_{20}^5.{(0,2)^5}.{(1 - 0,2)^{20 - 5}} \approx 0,1746.\)

\(P(Y = 6) = C_{20}^6.{(0,2)^6}.{(1 - 0,2)^{20 - 6}} \approx 0,1091.\)

\(P(Y = 7) = C_{20}^7.{(0,2)^7}.{(1 - 0,2)^{20 - 7}} \approx 0,0545.\)

\(P(Y = 8) = C_{20}^8.{(0,2)^8}.{(1 - 0,2)^{20 - 8}} \approx 0,0222.\)

\(P(Y = 9) = C_{20}^9.{(0,2)^9}.{(1 - 0,2)^{20 - 9}} \approx 0,0074.\)

\(P(Y = 10) = C_{20}^{10}.{(0,2)^{10}}.{(1 - 0,2)^{20 - 10}} \approx 0,002.\)

\(P(Y = 11) = C_{20}^{11}.{(0,2)^{11}}.{(1 - 0,2)^{20 - 11}} \approx 0,00046.\)

\(P(Y = 12) = C_{20}^{12}.{(0,2)^{12}}.{(1 - 0,2)^{20 - 12}} \approx 0,000087.\)

\(P(Y = 13) = C_{20}^{13}.{(0,2)^{13}}.{(1 - 0,2)^{20 - 13}} \approx 0,000013.\)

\(P(Y = 14) = C_{20}^{14}.{(0,2)^{14}}.{(1 - 0,2)^{20 - 14}} \approx 0,0000017.\)

\(P(Y = 15) = C_{20}^{15}.{(0,2)^{15}}.{(1 - 0,2)^{20 - 15}} \approx 0,00000017.\)

\(P(Y = 16) = C_{20}^{16}.{(0,2)^{16}}.{(1 - 0,2)^{20 - 16}} \approx 0,000000013.\)

\(P(Y = 17) = C_{20}^{17}.{(0,2)^{17}}.{(1 - 0,2)^{20 - 17}} \approx {7,7.10^{ - 10}}.\)

\(P(Y = 18) = C_{20}^{18}.{(0,2)^{18}}.{(1 - 0,2)^{20 - 18}} \approx {3,2.10^{ - 11}}.\)

\(P(Y = 19) = C_{20}^{19}.{(0,2)^{19}}.{(1 - 0,2)^{20 - 19}} \approx {8,4.10^{ - 13}}.\)

\(P(Y = 20) = C_{20}^{20}.{(0,2)^{20}}.{(1 - 0,2)^{20 - 20}} \approx {10^{ - 14}}.\)

Vậy 4 người không hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ có xác suất lớn nhất.