Giải bài 7 trang 12 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Một nhóm học sinh lớp 12 của một trường trung học phổ thông gồm có 10 người, trong đó có 3 học sinh lớp 12A, 4 học sinh lớp 12B, 3 học sinh từ các lớp 12 còn lại của nhà trường. Từ nhóm học sinh đó, chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 học sinh. Gọi X là số học sinh lớp 12A trong số 3 học sinh được chọn ra.
a) Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.
b) Tính kì vọng, phương sai của X.
c) Tính xác suất để trong số 3 học sinh được chọn ra có ít nhất 1 học sinh lớp 12A.

Lời giải chi tiết

a) X là biến ngẫu nhiên rời rạc và nhận giá trị trong tập \(\left\{ {0;1;2;3} \right\}\)

Ta có \(n(\Omega ) = C_{10}^3 = 120\)

+ Biến cố X=0 là biến cố :”Không có học sinh nào lớp 12 A được chọn.”

Suy ra \(n(X = 0) = C_7^3 = 35 \Rightarrow P(X = 0) = \frac{{35}}{{120}}.\)

+ Biến cố X=1 là biến cố :”Có 1 học sinh lớp 12A trong số 3 hs được chọn.”

Suy ra \(n(X = 1) = C_3^1.C_7^2 = 63 \Rightarrow P(X = 1) = \frac{{63}}{{120}}.\)

+ Biến cố X=2 là biến cố :”Có 2 học sinh lớp 12A trong số 3 hs được chọn.”

Suy ra \(n(X = 2) = C_3^2.C_7^1 = 21 \Rightarrow P(X = 2) = \frac{{21}}{{120}}.\)

+ Biến cố X=3 là biến cố :”Cả 3 học sinh lớp 12 A được chọn.”

Suy ra \(n(X = 3) = C_3^3 = 1 \Rightarrow P(X = 3) = \frac{1}{{120}}.\)

Bảng phân bố xác suất của X là:

b) Có:

\(\begin{array}{l}E(X) = 0.\frac{{35}}{{120}} + 1.\frac{{63}}{{120}} + 2.\frac{{21}}{{120}} + 3.\frac{1}{{120}} = 0,9\\V(X) = {(0 - 0,9)^2}.\frac{{35}}{{120}} + {(1 - 0,9)^2}.\frac{{63}}{{120}} + {(2 - 0,9)^2}.\frac{{21}}{{120}} + {(3 - 0,9)^2}.\frac{1}{{120}} = 0,49\end{array}\)

c) Xác suất để trong 3 học sinh được chọn ra có ít nhất 1 HS lớp 12A là:

\(P = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{{35}}{{120}} = \frac{{17}}{{24}}\)