Giải bài 6.31 trang 65 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại A có \(AH\) là đường cao. Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(ABC\) đồng dạng với tam giác \(HBA\);

b) Tam giác \(ABH\) đồng dạng với tam giác \(CAH\)

c) Cho \(BH = 4,CH = 9\). Tính độ dài đường cao \(AH\)

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác \(ABC\) và tam giác \(HBA\), ta có:

\(\widehat A = \widehat {BHA} = 90^\circ \)

\(\widehat B\) là góc chung

=> \(\Delta ABC\)∽\(\Delta HBA\) (góc nhọn-góc vuông)

b) Xét tam giác \(ABH\) và tam giác \(CAH\), ta có:

\(\widehat A = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) (do \(\Delta ABC\)∽\(\Delta HBA\))

=> \(\Delta ABH\)∽\(\Delta CAH\) (góc nhọn-góc vuông)

c) Vì \(\Delta ABH\)∽\(\Delta CAH\), ta có tỉ lệ:

\(\begin{array}{l}\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{HC}}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = BH.HC\\ \Rightarrow A{H^2} = 4.9 = 36\\ \Rightarrow AH = 6\end{array}\)