Giải mục 2 trang 63, 64 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Hoạt động 3

Đối với hai tam giác vuông \(ABC\) và \(A'B'C'\) trong hình 6.82, em hãy cho biết:

1. Cặp cạnh \(AB,BC\) và \(A'B',B'C'\) có tỉ lệ với nhau không?

2. Độ dài các cạnh \(AC\) và \(A'C'\) là bao nhiêu và vì sao hai tam giác vuông này đồng dạng?

Phương pháp giải:

Xét tỉ lệ cặp cạnh \(AB,BC\) và \(A'B',B'C'\). Sau đó tính độ dài các cạnh \(AC\) và \(A'C'\) dựa vào định lí Pythagore.

Lời giải chi tiết:

1. Ta có tỉ lệ:

\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\\\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}\end{array}\)

Vậy hai cặp cạnh này tỉ lệ với nhau

2. Xét tam giác vuông \(ABC\), ta có:

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\)

Xét tam giác vuông \(A'B'C'\), ta có:

\(A'C' = \sqrt {B'C' - A'B'}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\)

Xét hai tam giác vuông \(ABC\) và \(A'B'C'\), ta có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{1}{2}\)

=> \(\Delta ABC\)∽\(\Delta A'B'C'\) (c-c-c)

Luyện tập 2

Chỉ ra các cặp tam giác vuông đồng dạng với nhau trong Hình 6.84.

Phương pháp giải:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết:

Xét hai tam giác vuông \(ABC\) và \(GHK\), ta có:

\(\widehat B = \widehat H = 90^\circ \)

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{GK}} = \frac{7}{5}\\\frac{{CB}}{{KH}} = \frac{{3,5}}{{2,5}} = \frac{7}{5}\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{GK}} = \frac{{CB}}{{KH}} = \frac{7}{5}\end{array}\)

=> \(\Delta ABC\)∽\(\Delta GHK\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Vận dụng 2

Góc nghiêng \(\widehat {ABH}\) của mép mái nhà bên trái so với phương ngang và góc nghiêng \(\widehat {ACK}\) của mép mái nhà bên phải so với phương ngang trong Hình 6.85 có bằng nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết:

Xét hai tam giác vuông \(ABH\) và \(ACH\), ta có:

\(\widehat H = \widehat K = 90^\circ \)

\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{9}{{4,5}} = 2\\\frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{6 - 3}}{{6 - 4,5}} = 2\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}} = 2\end{array}\)

=> \(\Delta ABH\)∽\(\Delta ACH\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Vậy \(\widehat {ABH} = \widehat {ACK}\) (hai cạnh tương ứng)