Giải bài 6.23 trang 10 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho biểu thức $P = \frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\left( {x \ne 3,x \ne 1,x \ne  - 1} \right)$

a) Rút gọn phân thức $\frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}}$.

b) Chứng tỏ rằng có thể viết $P = a + \frac{b}{{x - 3}}$ trong đó a, b là những hằng số.

c) Tìm tập hợp các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên.

Lời giải chi tiết

a) $\frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}} = \frac{{2x - 6}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{2}{{{x^2} - 1}}$

b) $P = \frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}} = \frac{2}{{{x^2} - 1}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} - \frac{6}{{x - 3}}$

$= \frac{{2 - 2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} - \frac{6}{{x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} - \frac{6}{{x - 3}} =  - 2 - \frac{6}{{x - 3}}$

Vậy viết P dưới dạng $P = a + \frac{b}{{x - 3}}$, trong đó a, b là những hằng số.

c) Để P có giá trị nguyên thì $\frac{{ - 6}}{{x - 3}}$ có giá trị nguyên, khi đó $x - 3$ là ước của 6.

Do đó, $\left( {x - 3} \right) \in$Ư(6)$= \left\{ {1; - 1;2; - 2;3; - 3;6; - 6} \right\}$

Ta có bảng:

Vậy $x \in \left\{ {4;\;5;\;2;\;6;\;0;\;9;\; - 3} \right\}$