Bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 106 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và điểm $A$ (khác $O$) ở trong đường tròn đó. Một đường thẳng $d$ thay đổi, luôn đi qua $A,$ cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là $B$ và $C.$ Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của đoạn thẳng $BC.$

Lời giải chi tiết

Chứng minh thuận:

Đường tròn $(O)$ cho trước, điểm $A$cố định nên $OA$ có độ dài không đổi.

$∆OBC$ cân tại $O$ (vì $OB = OC$ = bán kính)

$IB = IC \;\;(gt)$ nên $OI$ là đường trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow  OI ⊥ BC$

$\Rightarrow \widehat {OIA} = 90^\circ$

Đường thẳng $d$ thay đổi nên $B, C$ thay đổi thì $I$ thay đổi tạo với $2$ đầu đoạn $OA$ cố định góc $\widehat {OIA} = 90^\circ$. Vậy $I$ chuyển động trên đường tròn đường kính $OA.$

Chứng minh đảo:

Lấy điểm $I’$ bất kỳ trên đường tròn đường kính $AO.$ Đường thẳng $AI’$ cắt đường tròn (O) tại $2$ điểm $B’$ và $C’.$

Ta chứng minh: $I’B = I’C’.$

Trong đường tròn đường kính $AO$ ta có $\widehat {OI'A} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow  OI'⊥ B'C'$

$\Rightarrow  I'B' = I'C'$ (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm dây cung đó)

Vậy quỹ tích các điểm $I$ là trung điểm của dây $BC$ của đường tròn tâm $O$ khi $BC$ quay xung quanh điểm $A$ cố định là đường tròn đường kính $AO.$

HocTot.Nam.Name.Vn