Bài 37 trang 106 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho nửa đường tròn đường kính $AB$ và $C$ là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính $OC$ lấy điểm $D$ sao cho $OD$ bằng khoảng cách $CH$ từ $C$ đến $AB.$ Tìm quỹ tích các điểm $D$ khi $C$ chạy trên nửa đường tròn đã cho.

Lời giải chi tiết

Chứng minh thuận: 

Từ $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt nửa đường tròn đường kính $AB$ tại $P.$ $O$ cố định, đường tròn đường kính $AB$ cố định suy ra $P$ cố định.

Nối $PD.$ Ta có: $OP // CH$ (vì hai đường thẳng cùng vuông góc với $AB$)

Xét $∆OCH$ và $∆OPD$ có:

+) $OD = CH (gt)$

+) $\widehat {POD} = \widehat {OCH}$ (so le trong)

+) $OP = OC$ (bán kính)

Suy ra: $∆DOP = ∆HCO (c.g.c)$

$\Rightarrow$$\widehat {ODP} = \widehat {CHO}$  mà $\widehat {CHO} = 90^\circ$ nên $\widehat {ODP} = 90^\circ$

Khi $C$ chuyển động trên nửa đường tròn đường kính $AB$ thì $D$ thay đổi tạo với $2$ đầu đoạn thẳng $OP$ cố định một góc $\widehat {OPD} = 90^\circ$. Vậy $D$ chuyển động trên đường tròn đường kính $OP.$

Chứng minh đảo:

Lấy điểm $D'$ bất kỳ trên đường tròn đường kính $OP.$ Kẻ $OD'$ cắt nửa đường tròn đường kính $AB$ tại $C',$ kẻ $C'H'⊥ AB$ ta phải chứng minh $OD' = C'H'.$

Nối $PD'.$

Xét $∆C'H'O$ và $∆PD'O$ có:

+) $\widehat {C'H'O} = \widehat {PD'O} = 90^\circ$

+) $OC' = OP$ (bán kính đường tròn tâm $O$)

+) $\widehat {D'OP} = \widehat {OC'H'}$ (so le trong)

Suy ra: $∆C'H'O = ∆PD'O$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow C'H' = OD'$

Vậy quỹ tích các điểm $D$ khi $C$ chuyển động trên nửa đường tròn đường kính $AB$ là đường tròn đường kính $OP.$

HocTot.Nam.Name.Vn