Bài 36 trang 106 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho nửa đường tròn đường kính $AB$ cố định. $C$ là điểm trên nửa đường tròn, trên dây $AC$ kéo dài lấy điểm $D$ sao cho $CD = CB.$

$a)$ Tìm quỹ tích các điểm $D$ khi $C$ chạy trên nửa đường tròn đã cho.

$b)$ Trên tia $CA$ lấy điểm $E$ sao cho $CE = CB.$ Tìm quỹ tích các điểm $E$ khi $C$ chạy trên nửa đường tròn đã cho.

Lời giải chi tiết

$a)$ Chứng minh thuận:

Ta có: $\widehat {ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra: $\widehat {BCD} = 90^\circ$

             $CD = CB (gt)$

Suy ra: $∆BCD$ vuông cân tại $C.$

 $\Rightarrow \widehat {CDB} = 45^\circ$ hay $\widehat {ADB} = 45^\circ$

$AB$ cố định. Khi $C$ chuyển động trên nửa đường tròn đường kính $AB$ thì $D$ chuyển động trên cung chứa góc $45^\circ$ dựng trên đoạn thẳng $AB$ cố định.

Ta có dây $AC$ thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm $C$ trên nửa đường tròn đường kính $AB.$

− Dây $AC$ lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi $C$ trùng với $B$ khi đó $D$ trùng với $B.$ Vậy $B$ là điểm của quỹ tích.

− Dây $AC$ nhỏ nhất có độ dài bằng $0$ khi $C$ trùng với $A,$ thì khi đó $D$ trùng với $B’$ là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính $AB$ tại $A$ với cung chứa góc $45^\circ$ vẽ trên $AB.$

Chứng minh đảo:

Lấy điểm $D’$ tùy ý trên cung $BB’,$ nối $AD’$ cắt đường tròn đường kính $AB$ tại $C’.$ Nối $BC’, BD’.$

Ta có: $\widehat {AD'B} = 45^\circ$ (vì $D’$ nằm trên cung chứa góc $45^\circ$ vẽ trên $AB$).

Trong đường tròn đường kính $AB$ ta có:

$\widehat {AC'B} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat {BC'D'} = 90^\circ$

Suy ra: $∆BC’D’$ vuông cân tại $C’$

$\Rightarrow  C’B = C’D’$

Vậy quỹ tích các điểm $D$ khi $C$ chuyển động trên nửa đường tròn đường kính $AB$ là cung $\overparen{BB'}$ nằm trên cung chứa góc $45^\circ$ vẽ trên đoạn $AB,$ trong nửa mặt phẳng bờ $AB$ có chứa điểm $C.$

$b)$ Chứng minh thuận:

Trong đường tròn đường kính $AB$ ta có:

$\widehat {ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$CB = CE (gt)$

$\Rightarrow  ∆CBE$ vuông tại $C$

$\Rightarrow \widehat {CEB} = 45^\circ$

$\widehat {CEB} + \widehat {AEB} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {AEB} = 135^\circ$

$AB$ cố định, $C$ chuyển động trên đường tròn đường kính $AB$ thì $E$ chuyển động trên cung chứa góc $135^\circ$ dựng trên đoạn $AB$ cố định.

− Khi dây $AC$ có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn, thì $C$ trùng với $B$ nên $E$ trùng với $B$ $\Rightarrow$ $B$ là $1$ điểm của quỹ tích.

− Khi dây $AC$ có độ dài nhỏ nhất bằng $0$ thì $C$ trùng với $A.$ Khi đó $E$ trùng $A$ nên $A$ là $1$ điểm của quỹ tích.

Vậy $E$ chuyển động trên $1$ cung chứa góc $135^\circ$ vẽ trên đoạn $AB$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa điểm $C.$

Chứng minh đảo:

Lấy $E’$ bất kỳ trên cung chứa góc $135^\circ .$ Kẻ $AE’$ cắt đường tròn đường kính $AB$ tại $C’.$  Nối $BE’, BC’.$

Ta có: $\widehat {AE'B} = 135^\circ$ (vì $E’$ nằm trên cung chứa góc $135^\circ$ vẽ trên $AB$)

Lại có: $\widehat {AE'B} + \widehat {BE'C} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {BE'C'} = 180^\circ  - \widehat {AE'B}$$= 180^\circ  - 135^\circ  = 45^\circ$

Trong đường tròn đường kính $AB$ ta có:

$\widehat {AC'B} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra: $∆E’C’B$ vuông cân tại $C’.$

$\Rightarrow  C'E' = C'B$

Vậy quỹ tích các điểm $E$ khi $C$ chuyển động trên đường tròn đường kính $AB$ là một cung chứa góc $135^\circ$ vẽ trên đoạn $AB$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa điểm $C.$

HocTot.Nam.Name.Vn