Giải bài 6 trang 95 SGK Toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' theo tỉ số đồng dạng $k$.

a) Cho AM, A'M' lần lượt là các đường trung tuyến của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh $\Delta ABM \backsim \Delta A'B'M'$ và $\frac{{AM}}{{A'M'}} = k$.

b) Cho AD, A'D' lần lượt là các đường phân giác của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh $\Delta ABD \backsim \Delta A'B'D'$ và $\frac{{AD}}{{A'D'}} = k$.

c) Cho AH, A'H' lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh $\Delta ABH \backsim \Delta A'B'H'$ và $\frac{{AH}}{{A'H'}} = k$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'$ theo tỉ số đồng dạng $k$ nên $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = k;\,\,\widehat B = \widehat {B'}$

Mà AM và A’M’ lần lượt là trung tuyến của hai tam giác ABC và A’B’C’ nên M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’.

$\begin{array}{l} \Rightarrow BM = \frac{1}{2}BC;\,\,B'M' = \frac{1}{2}B'C'\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BM}}{{B'M'}} = k\end{array}$

Xét tam giác ABM và tam giác A’B’M’ có:

$\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BM}}{{B'M'}}$ và $\widehat B = \widehat {B'}$

$\Rightarrow \Delta ABM \backsim \Delta A'B'M'$ (c-g-c)

$\Rightarrow \frac{{AM}}{{A'M'}} = \frac{{BM}}{{B'M'}} = k$

b) Vì $\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'$ theo tỉ số đồng dạng $k$ nên $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = k;\,\,\widehat B = \widehat {B'}$

$\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}$
Vì AD và A’D’ lần lượt là phân giác của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ nên ta có $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ và $\frac{{D'B'}}{{D'C'}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}$

$\Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{D'B'}}{{D'C'}} \Rightarrow \frac{{DB}}{{D'B'}} = \frac{{DC}}{{D'C'}} = \frac{{DB + DC}}{{D'B' + D'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}$

Mà $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}$ (chứng minh ở câu a) nên $\frac{{DB}}{{D'B'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}}$

Xét tam giác ABD và tam giác A’B’D’ có:

$\frac{{BD}}{{B'D'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}}$ và $\widehat B = \widehat {B'}$

$\Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta A'B'D'$ (c-g-c)

$\Rightarrow \frac{{AD}}{{A'D'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = k$

c) Ta có $\widehat B = \widehat {B'}$ và $\widehat {AHB} = \widehat {A'H'B'} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta ABH \backsim \Delta A'B'H'$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AH}}{{A'H'}} = k$