Giải bài 6 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Trong Hình 10, cho biết $ABCD$ là hình thang, $AB//CD\left( {AB < CD} \right)$; $M$ là trung điểm của $DC$; $AM$ cắt $BD$ ở $I$; $BM$ cắt $AC$ ở $K$; $IK$ cắt $AD,BC$ lần lượt ở $E,F$. Chứng minh:

a)      $IK//AB$

b)     $EI = IK = KF$

Lời giải chi tiết

a)      Do $DM//AB$ nên $\frac{{IM}}{{IA}} = \frac{{DM}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AB}}$ (1) (do $DM = MC$).

Mặt khác, do $MC//AB$ nên $\frac{{MK}}{{KB}} = \frac{{MC}}{{AB}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{IM}}{{IA}} = \frac{{MK}}{{KB}}$

Vì thế $IK//AB$ (định lí Thales đảo)

b)     Áp dụng định lí Thales lần lượt cho các tam giác $ADM$ với $EI//DM$, tam giác $MAB$ với $IK//AB$ và tam giác $BMC$ với $KF//MC$, ta có:

$\frac{{EI}}{{DM}} = \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{KF}}{{MC}}$

Suy ra $EI = KF$ (do $DM = MC$). Mặt khác, áp dụng định lí Thales lần lượt cho các tam giác $ADM$ với $EI//DM$ và tam giác $AMC$ với $IK//MC$, ta có:

$\frac{{EI}}{{DM}} = \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{IK}}{{MC}}$

Suy ra $EI = IK$ (do $DM = MC$). Do $EI = KF$ và $EI = IK$ nên $EI = IK = KF$.