Giải bài 8 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

An có một mảnh bìa có dạng hình tam giác \(ABC\) nhưng bị rách. An muốn cắt bỏ phần bị rách với vết cắt là đoạn thẳng \(MN\). Tính diện tích tứ giác \(MNCB\) theo diện tích tam giác \(ABC\), biết \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{1}{5}\) (Hình 12)

Lời giải chi tiết

Kẻ đường cao \(MH\) của tam giác \(AMN\) và đường cao \(BK\) của tam giác \(ABC\).

Do \(MH//BK\) nên \(\frac{{MH}}{{BK}} = \frac{{AM}}{{AB}}\)

Ta có \(\frac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\left( {AN.MH} \right):2}}{{\left( {AC.BK} \right):2}} = \frac{{AN}}{{AC}}.\frac{{AM}}{{AB}}\) (1)

Do \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{2}{3},\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{1}{5}\) nên \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{5},\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{5}{6}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{2}{5}.\frac{5}{6} = \frac{1}{3}\)

→    \({S_{\Delta ABC}} = 3{S_{\Delta AMN}}\)

Từ đó dễ thấy diện tích phần bị cắt bỏ bằng \(\frac{2}{3}{S_{\Delta ABC}}\).