Giải bài 6 trang 39 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hai đa thức $M\left( x \right) = 2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2} - 4x + 12$ và $N\left( x \right) = {x^4} - 3{x^3} - 4x + 7$.

a) Tìm đa thức P(x) sao cho $M\left( x \right) + P\left( x \right) = N\left( x \right)$.

b) Tìm đa thức Q(x) sao cho $Q\left( x \right) - M\left( x \right) = N\left( x \right)$.

c) Tính tổng $P\left( x \right) + Q\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $M\left( x \right) + P\left( x \right) = N\left( x \right)$, suy ra $P\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right)$.

$P\left( x \right) = \left( {{x^4} - 3{x^3} - 4x + 7} \right) - \left( {2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2} - 4x + 12} \right)$

$= {x^4} - 3{x^3} - 4x + 7 - 2{x^4} + 3{x^3} - 5{x^2} + 4x - 12$

$= \left( {{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {3{x^3} - 3{x^3}} \right) - 5{x^2} + \left( {4x - 4x} \right) + \left( {7 - 12} \right)$

$=  - {x^4} - 5{x^2} - 5$

b) Ta có $Q\left( x \right) - M\left( x \right) = N\left( x \right)$, suy ra $Q\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)$

$Q\left( x \right) = \left( {{x^4} - 3{x^3} - 4x + 7} \right) + \left( {2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2} - 4x + 12} \right)$

$= \left( {{x^4} + 2{x^4}} \right) + \left( { - 3{x^3} - 3{x^3}} \right) + 5{x^2} + \left( { - 4x - 4x} \right) + \left( {7 + 12} \right)$

$= 3{x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} - 8x + 19$

c) Cách 1. Ta đã có $P\left( x \right) =  - {x^4} - 5{x^2} - 5$ và $Q\left( x \right) = 3{x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} - 8x + 19$. Do đó:

$P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( { - {x^4} - 5{x^2} - 5} \right) + \left( {3{x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} - 8x + 19} \right)$

$= \left( { - {x^4} + 3{x^4}} \right) - 6{x^3} + \left( { - 5{x^2} + 5{x^2}} \right) - 8x + \left( { - 5 + 19} \right)$

$= 2{x^4} - 6{x^3} - 8x + 14$

Cách 2. Từ hai đẳng thức $M\left( x \right) + P\left( x \right) = N\left( x \right)$ và $Q\left( x \right) - M\left( x \right) = N\left( x \right)$, ta suy ra:

$P\left( x \right) + Q\left( x \right) \\= \left[ {M\left( x \right) + P\left( x \right)} \right] + \left[ {Q\left( x \right) - M\left( x \right)} \right] \\= N\left( x \right) + N\left( x \right) \\= 2N\left( x \right)$

Vì vậy:

$P\left( x \right) + Q\left( x \right) \\= 2\left( {{x^4} - 3{x^3} - 4x + 7} \right) \\= 2{x^4} - 6{x^3} - 8x + 14.$