Giải bài 6 trang 110 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Bảng sau đây ghi lại khoảng thời gian hoàn thành đường bơi 500 m của một số học viên.

a) Xác định khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu phép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

b) Xác định phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

c) Xác định số giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.

Lời giải chi tiết

a) Ta có bảng sau:

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $R = 14 - 8 = 6$ (phút).

• Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Cỡ mẫu: $n = 10 + 16 + 24 + 35 + 10 + 5 = 100$

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{100}}$ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian hoàn thành đường bơi 500 m của 100 học viên theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in \left[ {9;10} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{1.100}}{4} - 10}}{{16}}\left( {10 - 9} \right) = \frac{{159}}{{16}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in \left[ {11;12} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 11 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - \left( {10 + 16 + 24} \right)}}{{35}}\left( {12 - 11} \right) = \frac{{82}}{7}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\Delta Q = {Q_3} - {Q_3} = \frac{{82}}{7} - \frac{{159}}{{16}} = \frac{{199}}{{112}} \approx 1,78$ (phút).

b) • Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian hoàn thành đường bơi 500 m của 100 học viên:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x  = \frac{{10.8,5 + 16.9,5 + 24.10,5 + 35.11,5 + 10.12,5 + 5.13,5}}{{100}} = \frac{{271}}{{25}}$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

${S^2} = \frac{1}{{100}}\left( {{{10.8,5}^2} + {{16.9,5}^2} + {{24.10,5}^2} + {{35.11,5}^2} + {{10.12,5}^2} + {{5.13,5}^2}} \right) - {\left( {\frac{{271}}{{25}}} \right)^2} = 1,6444$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: $S = \sqrt {{S^2}}  = \sqrt {1,6444}  \approx 1,28$

c) Ta có:

${Q_1} - 1,5\Delta Q = \frac{{159}}{{16}} - 1,5.\frac{{199}}{{112}} = \frac{{1629}}{{224}} < 8$ và ${{Q}_{3}}+1,5\Delta Q=\frac{82}{7}+1,5.\frac{199}{112}=\frac{3221}{224}.14$

Do đó mẫu số liệu ghép nhóm không có giá trị ngoại lệ.