Giải bài 5 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt { - {x^2} + 9}$;

b) $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 10}}$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \left[ { - 3;3} \right]$.

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \sqrt { - {x^2} + 9}$ trên đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$.

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - {x^2} + 9} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt { - {x^2} + 9} }} = \frac{{ - 2{\rm{x}}}}{{2\sqrt { - {x^2} + 9} }} = \frac{{ - {\rm{x}}}}{{\sqrt { - {x^2} + 9} }}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

$f\left( { - 3} \right) = 0;f\left( 0 \right) = 3;f\left( 3 \right) = 0$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 3,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = f\left( { - 3} \right) = 0$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 10}}$ trên $\mathbb{R}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right) - \left( {x + 1} \right){{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right)}^2}}}\\ &  = \frac{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2{\rm{x}} + 8}}{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right)}^2}}}\end{array}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc ${\rm{x}} =  - 4$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\max f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \frac{1}{6},\min f\left( x \right) = f\left( { - 4} \right) =  - \frac{1}{6}$.