Giải bài 4.5 trang 48 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB//DC). Một đường thẳng song song với hai đáy cắt các đoạn thẳng AD, AC, BC theo thứ tự tại M, I, N. Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}\);

b) \(\frac{{AM}}{{AD}} + \frac{{CN}}{{CB}} = 1\).

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ADC có MI//DC (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{AI}}{{IC}}\)

Tam giác ABC có NI//AB (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IC}}\)

Do đó, \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}\)

b) Tam giác ADC có MI//DC (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{AI}}{{AC}}\)

Tam giác ABC có NI//AB (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{CI}}{{AC}}\)

Do đó, \(\frac{{AM}}{{AD}} + \frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{AI}}{{AC}} + \frac{{IC}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AC}} = 1\)