Giải bài 44 trang 104 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$. Lấy điểm $M$ thuộc đường chéo $BD$. Kẻ $ME$ vuông góc với $AB$ tại $E$,$MF$ vuông góc với $AD$ tại $F$.

a)     Chứng minh: $DE = CF;DE \bot CF$.

b)    Chứng minh ba đường thẳng $DE,BF,CM$ cùng đi qua một điểm.

c)     Xác định vị trí của điểm $M$ trên đường chéo $BD$ để diện tích của tứ giác $AEMF$ lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi $H$ là giao điểm của $DE$ và $CF$, $K$ là giao điểm của $CM$ và $EF$.

Do $ABCD$ là hình vuông nên ta có:

$\widehat {DAB} = 90^\circ ,CD = DA,\widehat {ADB} = \widehat {ABD} = \widehat {DBC} = 45^\circ$

a)     Ta chứng minh được tam giác $FDM$ vuông cân tại $F$.

Suy ra $FM = DF$

Tứ giác $AEMF$ có $\widehat {MFA} = \widehat {FAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ$ nên $AEMF$ là hình chữ nhật. Suy ra $AE = FM$.

Do đó $AE = DF$ (vì cùng bằng $FM$)

$\Delta ADE = \Delta DCF$ (c.g.c). Suy ra $DE = CF$, $\widehat {AED} = \widehat {DFC}$.

Trong tam giác $ADE$ vuông tại $A$, ta có: $\widehat {AED} + \widehat {ADE} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {DFC} + \widehat {ADE} = 90^\circ$ hay $\widehat {DFH} + \widehat {FHD} = 90^\circ$. Từ đó ta tính được $\widehat {DHF} = 90^\circ$. Vậy $DE \bot CF$.

b)    Tương tự câu a, ta chứng minh được $BF \bot CE$.

$\Delta ABM = \Delta CBM$ (c.g.c). Suy ra $AM = CM$. Mà $EF = AM$ (vì $AEMF$ là hình chữ nhật) suy ra $EF = CM$.

$\Delta DEF = \Delta FCM$ (c.c.c). Suy ra $\widehat {DEF} = \widehat {FCM}$ hay $\widehat {FEH} = \widehat {FCK}$

Trong tam giác $HEF$ vuông tại $H$, ta có $\widehat {FEH} + \widehat {EFH} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {FCK} + \widehat {EFH} = 90^\circ$ hay $\widehat {FCK} + \widehat {KFC} = 90^\circ$. Từ đó, ta tính được $\widehat {CKF} = 90^\circ$. Do đó, $CK \bot EF$.

Trong tam giác $CEF$, ta có: $DE \bot CF,BF \bot CE,CM \bot EF$ nên ba đường thẳng $DE,BF,CM$ là các đường cao của tam giác $CEF$. Vậy ba đường thẳng $DE,BF,CM$ cùng đi qua một điểm.

c)     Chu vi của hình chữ nhật $AEMF$ là: $2\left( {AE + AF} \right) = 2\left( {DF + AF} \right) = 2AD$

Mà $AD$ không đổi nên chu vi của hình chữ nhật $AEMF$ không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác $AEMF$ lớn nhất khi $AEMF$ là hình vuông. Suy ra $ME = MF$.

Khi đó $\Delta BEM = \Delta DFM$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $BM = DM$ hay $M$ là trung điểm của $BC$

Vậy với $M$ là trung điểm của $BC$ thì diện tích của tứ giác $AEMF$ lớn nhất.