Giải bài 43 trang 104 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$ có $BC = 2AB$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$

a)     Chứng minh tứ giác $MBND$ là hình bình hành.

b)    Gọi $P$ là giao điểm của $AM$ và $BN,Q$ là giao điểm của $CN$ và $DM$. Chứng minh tứ giác $PMQN$ là hình chữ nhật.

c)     Tìm điều kiện của hình bình hành $ABCD$ để tứ giác $PMQN$ là hình vuông.

d)    Tính diện tích của tứ giác $PMQN$, biết $AB = 2cm,\widehat {MAD} = 30^\circ$.

Lời giải chi tiết

a)     Do $ABCD$ là hình bình hành nên $BC//AD$ và $BC = AD$

Mà $M \in BC,N \in AD$ nên $MB//ND$

Lại có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$ nên $MB = MC = \frac{{12}}{{}}BC,NA = ND = \frac{1}{2}A$

Do đó $MB = MC = NA = ND$

Tứ goác $MBND$ có $MB//ND$ và $MB = ND$ nên là hình bình hành.

b)    Tương tự câu a, ta chứng minh được $MANC$ là hình bình hành.

Do $MBND,MANC$ đều là hình bình hành nên $PN//MQ,PM//NQ$. Suy ra tứ giác $PMQN$ là hình bình hành.

$\Delta ABN = \Delta MBN$ (c.g.c). Suy ra $AB = MN$.

Tứ giác $ABMN$ có $AB = BM - MN = AN$ nên $ABMN$ là hình thoi. Suy ra $AM \bot Bn$

Hình bình hành $PMQN$ có $\widehat {MPN} = 90^\circ$ nên $PMQN$ là hình chữ nhật.

c)     Để hình chữ nhật $PMQN$ là hình vuông thì $PM = PN$.

Mà $ABMN$ là hình thoi nên $ABMN$ là hình bình hành. Suy ra $AM,BN$ cắt nhau tại trung điểm $P$ của mỗi đường. mà $PM = PN$, suy ra $AM = BN$.

Hình bình hành $ABMN$ có $AM = BN$ nên $ABMN$ là hình chữ nhật

Suy ra $\widehat {ABM} = 90^\circ$ hay $\widehat {ABC} = 90^\circ$

Hình bình hành $ABCD$ có $\widehat {ABC} = 90^\circ$ nên $ABCD$ là hình chữ nhật.

Dễ thấy, nếu hình bình hành $ABCD$ là hình chữ nhật và $BC = 2AB$ thì $PMQN$ là hình vuông.

Vậy điều kiện của hình bình hành $ABCD$ để $PMQN$ là hình vuông là hình bình hành $ABCD$ là hình chữ nhật có $BC = 2AB$.

d)    Ta có: $BM = AB$ nên $BM = 2cm$

Do $ABMN$ là hình thoi nên $AM$ là tia phân giác của $\widehat {BAN}$

Suy ra $\widehat {BAN} = 2\widehat {MAD} = 60^\circ$

Tam giác $ABN$ có $AB = AN$ và $\widehat {BAN} = 60^\circ$ nên tam giác $ABN$ đều.

Suy ra $BN = AN = AB = 2cm$

Do $P$ là trung điểm của $BN$ nên $BP = NP = \frac{{BN}}{2} = 1cm$

Trong tam giác $BMP$ vuông tại $P$, ta có: $B{M^2} = B{P^2} + M{P^2}$

Suy ra $M{P^2} = B{M^2} - B{P^2} = 3$. Do đó $MP = \sqrt 3$ cm

Do $PMQN$ là hình chữ nhật nên diện tích của $PMQN$ là:

$MP.NP = \sqrt 3 .1 = \sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)$.