Giải bài 42 trang 104 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB//CD,\widehat D = 45^\circ$. Kẻ $AH$ vuông góc với $CD$ tại $H$. Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $HE = DH$.

a)     Chứng minh tứ giác $ABCE$ là hình bình hành.

b)    Đường thẳng qua $D$ song song với $AE$ cắt $AH$ tại $F$. Tứ giác $ADFE$ là hình gì? Vì sao?

c)     Tìm điều kiện của hình thang cân $ABCD$ để $E$ là trung điểm của $BF$ (bỏ qua giả thiết $\widehat D = 45^\circ$).

Lời giải chi tiết

a)     $\Delta ADH = \Delta AEH$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông), suy ra $AD = AE$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrrow \Delta ADE$ cân tại A. $\Rightarrow \widehat{ADE} = widehat{AED} = 45^0$

Mà $ABCD$ là hình thang cân nên \widehat{ADE} = widehat{C}\)

$\Rightarrow \widehat{C} = widehat{AED} = 45^0$. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra AE // BC

Xét tứ giác $ABCE$, ta có:

$AE//BC$

Vì $AD = AE$ mà $AD = BC$ nên $AE = BC$

Vậy tứ giác $ABCE$ là hình bình hành.

b)    Xét tam giác $AHE$ và $FHD$, ta có:

$\widehat {AEH} = \widehat {FDH}$ (so le trong); $\widehat {AHE} = \widehat {FHD} = 90^\circ$; $DH = HE$

Suy ra $\Delta AHE = \Delta DHD$ (g.c.g)

Suy ra $AH = HF$

Xét tứ giác $ADEF$, ta có:

$HD = HE;HA = HF$

Mà $AF \bot DE$

Suy ra tứ giác $ADEF$ là hình thoi.

c)     Để $E$ là trung điểm của $BF$ thì $BE = FE$ và ba điểm $B,E,F$ thẳng hàng.

Khi bỏ qua giả thiết $\widehat {ADC} = 45^\circ$ thì ta chứng minh được tứ giác $ADEF$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $ADEF$ là hình bình hành.

Do $ABCE$ và $ADEF$ đều là hình bình hành nên $AE = BC,AE//BC$ và $AE = DF.AE//DF$

Suy ra $BC = DF$ và $BC//DF$

Tứ giác $BCFD$ có $BC = DF$ và $BC//DF$ nên $BCFD$ là hình bình hành.

Mà $E$ là trung điểm của $BF$, suy ra $E$ là trung điểm của $CD$ hay $EC = ED = \frac{1}{2}CD$.

Mặt khác, $AB = EC$ (vì $ABCE$ là hình bình hành), suy ra $AB = \frac{1}{2}CD$

Dễ thấy nếu hình thang cân $ABCD\left( {AB//CD} \right)$ có $AB = \frac{1}{2}CD$ thì $E$ là trung điểm của $BF$.

Vậy điều kiện của hình thang cân $ABCD\left( {AB//CD} \right)$ để $E$ là trung điểm của $BF$ là $AB = \frac{1}{2}CD$.