Bài 4.19 trang 165 SBT đại số và giải tích 11

LG a

a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x → 0

Lời giải chi tiết:

Vẽ đồ thị hàm số $y = {x^2}$ và $y = {x^2} - 1$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Khi $x \ge 0$ thì $f\left( x \right) = {x^2}$ nên xóa nhánh đồ thị $y = {x^2}$ bên trái trục tung đi.

Khi $x < 0$ thì $f\left( x \right) = {x^2} - 1$ nên xóa nhánh đồ thị $y = {x^2} - 1$ bên phải trục tung đi.

Ta được đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$.

Từ đồ thị ta thấy hàm số không có giới hạn khi $x \to 0$.

Quảng cáo

LG b

b) Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Lấy dãy $\left\{ {{x_n}} \right\}$ và $\left\{ {{y_n}} \right\}$ thỏa mãn ${x_n} = \dfrac{1}{n}$ và ${y_n} =  - \dfrac{1}{n}$

Dễ thấy $\lim {x_n} = 0,\lim {y_n} = 0$.

Ta có:

Vì ${x_n} = \dfrac{1}{n} > 0$ nên $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim x_n^2 = \lim \dfrac{1}{{{n^2}}} = 0$

Vì ${y_n} =  - \dfrac{1}{n} < 0$ nên $\lim f\left( {{y_n}} \right) = \lim \left( {y_n^2 - 1} \right)$$= \lim \left[ {{{\left( { - \dfrac{1}{n}} \right)}^2} - 1} \right]$ $= \lim \left[ {\dfrac{1}{{{n^2}}} - 1} \right] = 0 - 1 =  - 1$

Do $\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {{y_n}} \right)$ nên không tồn tại giới hạn hàm số khi $x \to 0$.

HocTot.Nam.Name.Vn