Giải bài 4.14 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác $OAB$ vuông cân, với $OA = OB = a.$ Hãy xác định độ dài của các vectơ sau $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB} ,\,\,2\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB} .$

Lời giải chi tiết

+) Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC}$ với C là đỉnh thứ tư của hình bình hành $OACB$

Ta có: tứ giác $OACB$ là hình bình hành

mặt khác $\Delta OAB$ vuông cân tại $A$

nên tứ giác $OACB$ là hình bình hành

$\Rightarrow$ $\left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$

+) Ta có: $\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA}$

Xét $\Delta OAB$ vuông cân tại $O$ có:

$\Rightarrow$ $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$

+) Gọi điểm $D$ là điểm đối xứng với $O$ qua $B$

$\Rightarrow$ $2\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OD}$ và $OD = 2a.$

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OE}$ với $E$ là điểm thứ tư của hình bình hành $OAED$

Ta có: tứ giác $OAED$ là hình bình hành

Mặt khác $\widehat {DOA} = {90^ \circ }$

Nên tứ giác $OAED$ là hình chữ nhật

Xét hình chữ nhật $OAED$ có:

$\Rightarrow$ $\left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE = \sqrt {O{A^2} + O{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5$

+) Lấy điểm $F$ đối xứng với $B$ qua $D$ và $G$ đối xứng với $O$ qua $A$

$\Rightarrow$ $2\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OG} ,$ $3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OF} ,$ $OG = 2a,$$OF = 3a$

Ta có: $2\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OG}  - \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {FG}$

Xét $\Delta OFG$ vuông tại $O$ có:

$\Rightarrow$ $\left| {\overrightarrow {FG} } \right| = FG = \sqrt {O{F^2} + O{G^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt {13}$