Giải bài 4 trang 104 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BE và CK. Chứng minh tứ giác BKEC là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Do BE là phân giác của $\widehat {ABC}$nên $$\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}$$

CK là phân giác của $\widehat {ACB}$ nên $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}$

Mà: $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}(1)$(do $\Delta ABC$cân tại A)

$\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$

Xét $\Delta AEB$và $\Delta AKC$có: $\widehat A$chung, $\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}$

AB = AC $\Rightarrow \Delta AEB = \Delta AKC(g.c.g)$

$\Rightarrow AE = AK \Rightarrow \Delta AEK$cân tại A.. $\widehat {AEK} = \widehat {AKE} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}(2)$

Từ (1), (2) suy ra: $\widehat {ABC} = \widehat {AKE} \Rightarrow KE//BC$(2 góc đồng vị)

Suy ra BKEC là hình thang (3)

Từ (1), (3) suy ra BKEC là hình thang cân.