Bài 39 trang 162 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình thang vuông $ABCD$ $(\widehat A = \widehat D = 90^\circ ),$ $AB = 4cm,$ $BC = 13cm,$ $CD = 9cm.$

$a)$ Tính độ dài $AD.$ 

$b)$ Chứng minh rằng đường thẳng $AD$ tiếp xúc với đường tròn có đường kính là $BC.$

Lời giải chi tiết

$a)$ Kẻ $BE ⊥ CD$ tại $E$

Suy ra tứ giác $ABED$ là hình hình chữ nhật (vì có ba góc vuông $\widehat A = \widehat D = \widehat E = {90^0}$)

Suy ra $AD = BE$, $DE = AB = 4 (cm)$

Suy ra: $CE = CD – DE = 9 – 4 = 5 (cm)$

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $BCE$ ta có:

$B{C^2} = B{E^2} + C{E^2}$

Suy ra: $B{E^2} = B{C^2} - C{E^2}$$= {13^2} - {5^2} = 144$

             $BE = 12 (cm)$

 Vậy:  $AD = 12 (cm)$

$b)$ Gọi $I$ là trung điểm của $BC$

Ta có: $IB = IC = \displaystyle {1 \over 2}BC$$= \displaystyle {1 \over 2}.13 = 6,5 (cm)$  $(1)$

Kẻ $IH ⊥ AD.$

Xét hình thang ABCD ta có: $IH//AB//CD$ (cùng vuông góc với AD), mà I là trung điểm BC nên H là trung điểm AD.

Khi đó $HI$ là đường trung bình của hình thang $ABCD.$

Ta có: $HI = \displaystyle {{AB + CD} \over 2}$$= \displaystyle {{4 + 9} \over 2} = 6,5 (cm)$  $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $IH=IB=\displaystyle {1 \over 2}BC$

Vậy đường tròn $\left( {I;\displaystyle {{BC} \over 2}} \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $AD.$

HocTot.Nam.Name.Vn