Giải bài 3.4 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm điểm M bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng khoảng cách từ M đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất.

Lời giải chi tiết

Trước hết cho hai điểm phân biệt P, Q thì với mọi điểm M ta có $MP + MQ \ge PQ$ và $MP + MQ = PQ$ chỉ khi M thuộc đoạn thẳng PQ.

Thật vậy,

• Nếu M không thuộc đường thẳng PQ thì $MP + MQ > PQ$ (bất đẳng thức tam giác) (hình vẽ)

 

• Nếu M thuộc đoạn thẳng PQ thì $MP + MQ = PQ$ (hình vẽ)

 

• Nếu M thuộc đường thẳng PQ nhưng không thuộc đoạn thẳng PQ thì hoặc P nằm giữa M và Q hoặc Q nằm giữa P và M, dễ thấy trong cả hai trường hợp đó, $MP + MQ > PQ$ (hình vẽ).

 

– Xét điểm M tuỳ ý trong tứ giác ABCD (hình vẽ).

 

Ta có:

$MA + MC \ge AC$ và $MA + MC = AC$ khi điểm M nằm trên đoạn thẳng AC.

$MB + MD \ge BD$ và $MB + MD = BD$ khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BD.

Do đó $MA + MB + MC + MD \ge AC + BD$ và $MA + MB + MC + MD = AC + BD$ chỉ khi M vừa thuộc đoạn thẳng AC vừa thuộc đoạn thẳng BD tức là M phải trùng với giao điểm O của AC và BD.