Bài 3.3 trang 129 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao cho

$\displaystyle {{AM} \over {AC}} = {{BN} \over {B{\rm{D}}}} = k\left( {k > 0} \right)$

Chứng minh rằng ba vectơ $\displaystyle \overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN}$ đồng phẳng.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\displaystyle \eqalign{ & \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {P{\rm{D}}} } \right) \cr  & = {1 \over 2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AP} } \right) + \left( {\overrightarrow {B{\rm{D}}} - \overrightarrow {BP} } \right)} \right] \cr  & = {1 \over 2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right) - \underbrace {\left( {\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BP} } \right)}_{\overrightarrow 0 }} \right] \cr  & = {1 \over 2}.{1 \over k}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} } \right) \cr}$ 

Vì $\displaystyle \overrightarrow {AC}  = {1 \over k}.\overrightarrow {AM}$ và $\displaystyle \overrightarrow {B{\rm{D}}}  = {1 \over k}.\overrightarrow {BN}$

Đồng thời $\displaystyle \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AP}  + \overrightarrow {PM}$ và $\displaystyle \overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BP}  + \overrightarrow {PN}$, nên $\displaystyle \overrightarrow {PQ}  = {1 \over {2k}}\left( {\overrightarrow {PM}  + \overrightarrow {PN} } \right)$ vì $\displaystyle \overrightarrow {AP}  + \overrightarrow {BP}  = \overrightarrow 0$

Vậy $\displaystyle \overrightarrow {PQ}  = {1 \over {2k}}\overrightarrow {PM}  + {1 \over {2k}}\overrightarrow {PN}$

Do đó ba vectơ $\displaystyle \overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN}$ đồng phẳng.

 HocTot.Nam.Name.Vn