Bài 3.2 trang 129 SBT hình học 11

Đề bài

Trong không gian cho điểm $O$ và bốn điểm $A, B, C, D$ phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm $A, B, C, D$ tạo thành một hình bình hành là:

$\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {O{\rm{D}}}$

Lời giải chi tiết

Giả sử bốn điểm $A, B, C, D$ tạo thành một hình bình hành ta có:

$\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {A{\rm{D}}}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {O{\rm{D}}}  - \overrightarrow {OA}$ (với điểm O bất kì )

$\Leftrightarrow \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {O{\rm{D}}}  + \overrightarrow {OB}$

Ngược lại, giả sử ta có hệ thức:

$\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {O{\rm{D}}}  + \overrightarrow {OB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {O{\rm{D}}}  - \overrightarrow {OA}$ 

$\Leftrightarrow \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {A{\rm{D}}}$ 

Vì $A, B, C, D$ không thẳng hàng nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

 HocTot.Nam.Name.Vn