Giải bài 3.27 trang 42 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy trên cạnh BC hai điểm D, E sao cho $BD = DE = EC$. Lấy các điểm F, G lần lượt thuộc cạnh AC, AB sao cho FE, GD vuông góc với BC. Chứng minh tứ giác DEFG là một hình vuông.

Lời giải chi tiết

Vì $\Delta$ABC vuông cân tại A nên $\widehat B = \widehat C = {45^0}$, $AB = AC$

Vì $GD \bot BC$ nên $\widehat {GDB} = \widehat {GDE} = {90^0}$

Vì $FE \bot BC$ nên $\widehat {FED} = \widehat {FEC} = {90^0}$

Tam giác BDG có: $\widehat {GDB} = {90^0},\widehat B = {45^0}$ nên tam giác GBD vuông cân tại D, do đó, $\widehat {BGD} = {45^0}$ và $BD = GD$  

Mà $BD = DE$ nên $GD = DE$

Tam giác GBD và tam giác FCE có:

$\widehat {GDB} = \widehat {FEC} = {90^0},\widehat B = \widehat C = {45^0},BD = EC$

Do đó, $\Delta GDB = \Delta FEC\left( {cgv - gn} \right)$, suy ra $BG = FC$

Mà $AB = AC$ (cmt) nên $AB - BG = AC - FC$, suy ra $GA = FA$

Tam giác GAF vuông tại A có $GA = FA$ nên tam giác GAF vuông cân tại A. Do đó, $\widehat {FGA} = {45^0}$

Ta có: $\widehat {FGA} + \widehat {FGD} + \widehat {DGB} = {180^0}$

${45^0} + \widehat {FGD} + {45^0} = {180^0}$, suy ra $\widehat {FGD} = {90^0}$

Tứ giác GDEF có: $\widehat {GDE} + \widehat {FED} + \widehat {FGD} + \widehat {GFE} = {360^0}$

Nên $\widehat {GFE} = {90^0}$

Tứ giác DEFG có: $\widehat {GDE} = \widehat {FED} = \widehat {FGD} = \widehat {GFE} = {90^0}$ nên DEFG là hình chữ nhật, mà $GD = DE$ nên DEFG là hình vuông.