Giải bài 3.18 trang 37 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E thuộc AB, F thuộc CD sao cho $AE = CF$; lấy các điểm G thuộc BC, H thuộc AD sao cho $BG = DH.$ Chứng minh EGFH là một hình bình hành và các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên $AB = CD,AD = BC,$ $\widehat {ABC} = \widehat {ADC},\widehat {DAB} = \widehat {DCB}$

Vì $AB = CD$, $AE = CF$ nên $AB - AE = CD - FC$, suy ra $EB = DF$

Vì $AD = BC$, $DH = BG$ nên $AD - DH = BC - BG$, suy ra $AH = CG$

Tam giác HEA và tam giác GCF có:

$AE = CF\left( {gt} \right),\widehat {HAE} = \widehat {GCF}\left( {cmt} \right),AH = CG\left( {cmt} \right)$

Do đó, $\Delta HAE = \Delta GCF\left( {c - g - c} \right)$, suy ra $HE = FG$

Tam giác EBG và tam giác FDH có:

$BG = DH\left( {gt} \right),\widehat {EBG} = \widehat {HDF}\left( {cmt} \right),EB = DF\left( {cmt} \right)$

Do đó, $\Delta EBG = \Delta FDH\left( {c - g - c} \right)$, suy ra $GE = FH$

Tứ giác EGFH có: $HE = FG$, $GE = FH$ nên EGFH là một hình bình hành.

Gọi O là trung điểm của AC.

Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O và O là trung điểm của BD (1).

Tứ giác EBFD có: EB//DF, $EB = DF$  nên tứ giác EBDF là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo EF và BD cắt nhau tại trung điểm O của BD (2).

Vì tứ giác EGFH là hình bình hành nên hai đường chéo EF và GH cắt nhau tại trung điểm O của EF (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có: Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy tại O.