Giải bài 3 trang 94 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}$ và $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}$

Lời giải chi tiết

Ta có:  $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a$

$\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}$

Từ B kẻ $\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {CB}$, suy ra $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD$

Áp dụng định lí côsin ta có $AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2} - 2.AB.BD.\cos \widehat {ABD}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2.a.a.\cos 120^\circ }  = a\sqrt 3$

Vậy độ dài của các vectơ $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}$ và $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}$ lần lượt là a và $a\sqrt 3$