Giải bài 3 trang 14 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_1^3 {{e^{x - 2}}dx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}dx} \);

c) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx} \).

Lời giải chi tiết

a) \(\int\limits_1^3 {{e^{x - 2}}dx}  = \int\limits_1^3 {\frac{{{e^x}}}{{{e^2}}}dx}  = \left. {\frac{{{e^x}}}{{{e^2}}}} \right|_1^3 = \frac{{{e^3}}}{{{e^2}}} - \frac{{{e^1}}}{{{e^2}}} = e - \frac{1}{e}\).

b)

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{2^{2x}} - {{2.2}^x} + 1} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{4^x} - {{2.2}^x} + 1} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} - 2.\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x} \right)} \right|_0^1\\ = \left( {\frac{{{4^1}}}{{\ln 4}} - 2.\frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} + 1} \right) - \left( {\frac{{{4^0}}}{{\ln 4}} - 2.\frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + 1} \right) = 1 - \frac{1}{{2\ln 2}}\end{array}\)

c) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{e^x} - 1} \right)\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}}dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)dx}  = \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1 = \left( {{e^1} - 1} \right) - \left( {{e^0} - 0} \right) = e - 2\).