Bài 29 trang 161 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn $(O),$ hai dây $AB, CD$ bằng nhau và cắt nhau tại điểm $I$ nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng:

$a)$ $IO$ là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây $AB$ và $CD.$

$b)$ Điểm $I$ chia $AB,$ $CD$ thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một. 

Lời giải chi tiết

$a)$ Kẻ $OH ⊥ AB,$ $OK ⊥ CD$

Ta có: $AB = CD\;\; (gt)$

Suy ra: $OH = OK$ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Do đó O nằm trên tia phân giác của góc BID (tính chất đường phân giác)

Vậy $IO$ là tia phân giác của góc $BID$ 

$b)$ Xét hai tam giác $OIH$ và $OIK,$ ta có:

+) $\widehat {OHI} = \widehat {OKI} = 90^\circ$

+) $OI$ chung

+) $OH = OK$ (chứng minh trên)

Suy ra: $∆OIH = ∆OIK$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: $IH = IK      \;(1)$

Xét (O) có $OH ⊥ AB$ nên $HA = HB = \displaystyle {1 \over 2}AB$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Xét (O) có $OK ⊥ DC$ nên $KC = KD =\displaystyle {1 \over 2}CD$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Mà $AB = CD$ (gt) nên $HA = KC\;$ hay $AI+IH=IC+IK$ mà $IH=IK$ (theo (1))

Suy ra: $IA = IC$

Ta lại có $AB= CD$ (gt) hay $IA+IB=IC+ID$ mà $IA=IC$ (cmt) nên $IB = ID.$

Vậy $IA=IC, IB=ID$. 

HocTot.Nam.Name.Vn