Bài 31 trang 161 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn $(O),$ các bán kính $OA$ và $OB.$ Trên cung nhỏ $AB$ lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $AM = BN.$ Gọi $C$ là giao điểm của các đường thẳng $AM$ và $BN.$ Chứng minh rằng:

$a)$ $OC$ là tia phân giác của góc $AOB.$

$b)$ $OC$ vuông góc với $AB.$

Lời giải chi tiết

$a)$ Kẻ $OH ⊥ AM, OK ⊥ BN$

Ta có: $AM = BN \;\;(gt)$

Suy ra: $OH = OK$ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác $OCH$ và $OCK,$ ta có:

$\widehat {OHC} = \widehat {OKC} = 90^\circ$

         $OC$ chung

         $OH = OK$ (chứng minh trên)

Suy ra:  $∆OCH = ∆OCK$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}$ (1)

Xét hai tam giác $OAH$ và $OBK,$ ta có:

$\widehat {OHA} = \widehat {OKB} = 90^\circ$

         $OA = OB$ (cùng bằng bán kính)

          $OH = OK$ ( chứng minh trên)

Suy ra: $∆OAH = ∆OBK$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  $\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}}$ hay $\widehat {AOC} = \widehat {BOC}$

Vậy $OC$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$

$b)$ Tam giác $OAB$ cân tại $O$ (do $OA=OB)$ có $OC$ là tia phân giác nên $OC$ đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).

Suy ra: $OC ⊥ AB.$

Chú ý: TH hình vẽ dưới đây các em vẫn làm như trên:

HocTot.Nam.Name.Vn