Bài 33* trang 161 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn $(O),$ hai dây $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $M$ nằm bên trong đường tròn. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$ và $CD.$ Cho biết $AB  >CD,$  chứng minh rằng $MH > MK.$

Lời giải chi tiết

Xét (O) có  $HA = HB \;(gt)$

Suy ra:  $OH ⊥ AB$ (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Xét (O) có  $KC = KD\;\; (gt)$

Suy ra:   $OK ⊥ CD$ (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Mà  $AB > CD \;\;(gt)$

Nên  $OK > OH$ ( dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $OHM$ ta có:

$O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}$

Suy ra:     $H{M^2} = O{M^2} - O{H^2}$     $(1)$

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $OKM,$ ta có:

$O{M^2} = O{K^2} + K{M^2}$

Suy ra:    $K{M^2} = O{M^2} - O{K^2}$      $(2)$

Mà  $OH < OK (cmt)$          $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $H{M^2} > K{M^2}$ hay $HM > KM.$

HocTot.Nam.Name.Vn