Bài 28 trang 90 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Hình thang $ABCD\; (AB // CD)$ có $CD = 2AB.$ Gọi $E$ là trung điểm của $DC$ (h21). Chứng minh rằng ba tam giác $ADE, ABE$ và $BEC$ đồng dạng với nhau từng đôi một. (Chú ý viết các đỉnh của hai tam giác đồng dạng theo thứ tự tương ứng với nhau).

Lời giải chi tiết

Vì $CD = 2AB$ (gt) nên $\displaystyle AB  = {1 \over 2}CD$.

Vì $E$ là trung điểm của $CD$ nên $\displaystyle DE = EC  = {1 \over 2}CD$

$\Rightarrow  AB = DE = EC$.

Xét tứ giác $ABCE$ có $AB//EC$ và $AB = EC$ nên $ABCE$ là hình bình hành.

$\Rightarrow AE//BC$ (tính chất hình bình hành).

Vì $AB//DC$ nên $\widehat {ABE} = \widehat {BEC}$ (cặp góc so le trong).

Vì $AE//BC$ nên $\widehat {AEB} = \widehat {EBC}$ (cặp góc so le trong).

Xét $∆ AEB$ và $∆ CBE$ có:

$\widehat {ABE} = \widehat {BEC}$ (cmt)

$\widehat {AEB} = \widehat {EBC}$ (cmt)

$BE$ cạnh chung

$⇒ ∆ AEB = ∆ CBE\; (g.c.g)$     (1)

Hình thang $ABED$ có đáy $AB = DE$ nên hai cạnh bên $AD$ và $BE$ song song với nhau.

Vì $AB//CD$ nên $\widehat {BAE} = \widehat {AED}$ (cặp góc so le trong).

Vì $AD//BE$ nên $\widehat {AEB} = \widehat {EAD}$ (cặp góc so le trong).

Xét $∆ AEB$ và $∆ EAD$ có:

$\widehat {BAE} = \widehat {AED}$ (cmt)

$\widehat {AEB} = \widehat {EAD}$ (cmt)

$AE$ cạnh chung

$⇒ ∆ AEB = ∆ EAD \;(g.c.g)$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $∆ AEB = ∆ EAD = ∆ CBE$.

Do đó ba tam giác $ADE, ABE$ và $BEC$ đồng dạng với nhau từng đôi một.

HocTot.Nam.Name.Vn